On the critical exponent of generalized Thue-Morse words

For certain generalized Thue-Morse words t, we compute the "critical exponent", i.e., the supremum of the set of rational numbers that are exponents of powers in t, and determine exactly the occurrences of powers realizing it.Comment: 13 pages; to appear in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science (accepted October 15, 2007

À l'intersection de la combinatoire des mots et de la géométrie discrète : palindromes, symétries et pavages

Dans cette thèse, différents problèmes de la combinatoire des mots et de géométrie discrète sont considérés. Nous étudions d'abord l'occurrence des palindromes dans les codages de rotations, une famille de mots incluant entre autres les mots sturmiens et les suites de Rote. En particulier, nous démontrons que ces mots sont pleins, c'est-à-dire qu'ils réalisent la complexité palindromique maximale. Ensuite, nous étudions une nouvelle famille de mots, appelés mots pseudostandards généralisés, qui sont générés à l'aide d'un opérateur appelé clôture pseudopalindromique itérée. Nous présentons entre autres une généralisation d'une formule décrite par Justin qui permet de générer de façon linéaire et optimale un mot pseudostandard généralisé. L'objet central, le f-palindrome ou pseudopalindrome est un indicateur des symétries présentes dans les objets géométriques. Dans les derniers chapitres, nous nous concentrons davantage sur des problèmes de nature géométrique. Plus précisément, nous donnons la solution à deux conjectures de Provençal concernant les pavages par translation, en exploitant la présence dé palindromes et de périodicité locale dans les mots de contour. À la fin de plusieurs chapitres, différents problèmes ouverts et conjectures sont brièvement présentés. \ud ______________________________________________________________________________ \ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Palindrome, pseudopalindrome, clôture pseudopalindromique itérée, codages de rotations, symétries, chemins discrets, pavages

Sur le défaut palindromique des mots infinis

Lorsqu'on s'intéresse à l'étude de la structure combinatoire d'un mot infini w, une stratégie classique consiste à calculer sa fonction de complexité, c'est-à-dire à décrire le nombre de mots de longueur n qui apparaissent dans w, pour chaque entier n ≥ 0. Récemment, des chercheurs se sont intéressés à un raffinement de cette notion en introduisant la fonction de complexité palindromique: pour chaque entier n ≥ 0, nous calculons le nombre de palindromes de longueur n apparaissant dans w. Rappelons qu'un palindrome est un mot qui se lit de la même façon de gauche à droite que de droite à gauche (par exemple, "radar" et "ressasser" sont des palindromes de la langue française). La connaissance des palindromes apparaissant dans un mot permet de déduire de nombreuses informations précieuses sur sa structure. Par exemple, un mot admettant une infinité de palindromes préfixes est nécessairement récurrent (tout facteur apparaît une infinité de fois) et son langage est fermé sous l'opération miroir. D'autre part, nous étudions également les occurrences de facteurs antipalindromiques (une généralisation de la notion de palindrome), qui semblent naturellement en interaction avec les palindromes usuels. En particulier, nous décrivons les complexités palindromique et antipalindromique de quelques familles importantes de mots: les mots périodiques, les mots sturmiens, le mot de Thue-Morse et les suites de Rote. Dans un deuxième temps, nous étudions le défaut palindromique des mots finis et infinis. Il s'agit d'une mesure de "richesse" ou de "pauvreté" en palindromes des mots. Nous montrons en particulier que certains mots associés aux suites de Rote, à l'instar des mots sturmiens (Droubay, Justin et Pirillo, 2001), sont aussi pleins, c'est-à-dire qu'ils réalisent la complexité palindromique maximale, et nous établissons aussi des conditions sous lesquelles les mots périodiques sont pleins. Une section supplémentaire est consacrée à l'étude des lacunes du mot de Thue-Morse, qui admet une infinité de palindromes, mais dont le défaut est infini (c'est-à-dire qu'il possède une infinité de lacunes palindromiques). En dernier lieu, nous mentionnons quelques problèmes ouverts dans ce passionnant champ de recherche. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire, Mots, Palindromes, Antipalindromes, Complexité, Défaut

Combinatorial aspects of Escher tilings

International audienceIn the late 30's, Maurits Cornelis Escher astonished the artistic world by producing some puzzling drawings. In particular, the tesselations of the plane obtained by using a single tile appear to be a major concern in his work, drawing attention from the mathematical community. Since a tile in the continuous world can be approximated by a path on a sufficiently small square grid - a widely used method in applications using computer displays - the natural combinatorial object that models the tiles is the polyomino. As polyominoes are encoded by paths on a four letter alphabet coding their contours, the use of combinatorics on words for the study of tiling properties becomes relevant. In this paper we present several results, ranging from recognition of these tiles to their generation, leading also to some surprising links with the well-known sequences of Fibonacci and Pell.Lorsque Maurits Cornelis Escher commença à la fin des années 30 à produire des pavages du plan avec des tuiles, il étonna le monde artistique par la singularité de ses dessins. En particulier, les pavages du plan obtenus avec des copies d'une seule tuile apparaissent souvent dans son œuvre et ont attiré peu à peu l'attention de la communauté mathématique. Puisqu'une tuile dans le monde continu peut être approximée par un chemin sur un réseau carré suffisamment fin - une méthode universellement utilisée dans les applications utilisant des écrans graphiques - l'objet combinatoire qui modèle adéquatement la tuile est le polyomino. Comme ceux-ci sont naturellement codés par des chemins sur un alphabet de quatre lettres, l'utilisation de la combinatoire des mots devient pertinente pour l'étude des propriétés des tuiles pavantes. Nous présentons dans ce papier plusieurs résultats, allant de la reconnaissance de ces tuiles à leur génération, conduisant à des liens surprenants avec les célèbres suites de Fibonacci et de Pell

A parallelogram tile fills the plane by translation in at most two distinct ways

We consider the tilings by translation of a single polyomino or tile on the square grid Z2 (Z exposant 2). It is well-known that there are two regular tilings of the plane, namely, parallelogram and hexagonal tilings. Although there exist tiles admitting an arbitrary number of distinct hexagon tilings, it has been conjectured that no polyomino admits more than two distinct parallelogram tilings. In this paper, we prove this conjecture

Psycholinguistic Correlates of Symbol Grounding in Dictionaries

A dictionary can be represented as a directed graph with links from defining to defined words. The minimal feedback vertex sets (MinSets, Ms) of a dictionary graph are the smallest sets of words from which all the rest can be defined. We computed Ms for four English dictionaries. The words in the dictionary components revealed by our graph-theoretic analysis differ in their psycholinguistic correlates. Every MinSet has a C-part that is younger and more frequent and an S-part, that is more concrete. To understand the functional role of these components will require a close study of the words themselves, and how they are combined into definitions. We can already conclude that the closer a word is to the MinSets that can define all other words, the more concrete and frequent the word is likely to be, and the earlier it is likely to have been learned. This is what one would expect if the words in the MinSets were the ones that had been acquired through direct sensorimotor grounding

Hidden Structure and Function in the Lexicon

How many words are needed to define all the words in a dictionary? Graph-theoretic analysis reveals that about 10% of a dictionary is a unique Kernel of words that define one another and all the rest, but this is not the smallest such subset. The Kernel consists of one huge strongly connected component (SCC), about half its size, the Core, surrounded by many small SCCs, the Satellites. Core words can define one another but not the rest of the dictionary. The Kernel also contains many overlapping Minimal Grounding Sets (MGSs), each about the same size as the Core, each part-Core, part-Satellite. MGS words can define all the rest of the dictionary. They are learned earlier, more concrete and more frequent than the rest of the dictionary. Satellite words, not correlated with age or frequency, are less concrete (more abstract) words that are also needed for full lexical power.Comment: 11 pages, 5 figures, 2 table

Two infinite families of polyominoes that tile the plane by translation in two distinct ways

It has been proved that, among the polyominoes that tile the plane by translation, the so-called squares tile the plane in at most two distinct ways. In this paper, we focus on double squares, that is, the polyominoes that tile the plane in exactly two distinct ways. Our approach is based on solving equations on words, which allows us to exhibit properties about their shape. Moreover, we describe two infinite families of double squares. The first one is directly linked to Christoffel words and may be interpreted as segments of thick straight lines. The second one stems from the Fibonacci sequence and reveals some fractal features